基本不等式公式有哪四个在数学中，基本不等式是解决最值难题、证明不等关系的重要工具。它们广泛应用于代数、几何、优化等领域。常见的基本不等式主要包括下面内容四种，下面将逐一介绍，并通过表格形式进行拓展资料。
一、基本不等式的定义与应用
基本不等式通常指的是在正实数范围内成立的不等式，常用于比较两个数的算术平均与几何平均之间的关系，或用于求解最大值、最小值难题。
二、四种基本不等式公式
1. 均值不等式（AM ≥ GM）
对于任意正实数 $ a, b $，有：
$$
\fraca + b}2} \geq \sqrtab}
$$
当且仅当 $ a = b $ 时取等号。
2. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
对于任意实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \ldots, b_n $，有：
$$
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
$$
当且仅当 $ \fraca_1}b_1} = \fraca_2}b_2} = \cdots = \fraca_n}b_n} $ 时取等号。
3. 三角不等式（Triangle Inequality）
对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
$$
且：
$$
$$
4. 排序不等式（Rearrangement Inequality）
设 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则对于任何排列 $ b’_1, b’_2, \ldots, b’_n $，有：
$$
a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b’_1 + a_2b’_2 + \cdots + a_nb’_n \geq a_1b_n + a_2b_n-1} + \cdots + a_nb_1
$$
三、拓展资料表格
| 不等式名称 | 公式表达 | 条件/等号条件 | ||||||
| 均值不等式 | $ \fraca + b}2} \geq \sqrtab} $ | $ a, b > 0 $；当 $ a = b $ 时取等号 | ||||||
| 柯西不等式 | $ (a_1^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | $ a_i, b_i \in \mathbbR} $；当 $ \fraca_1}b_1} = \cdots = \fraca_n}b_n} $ 时取等号 | ||||||
| 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | $ a, b \in \mathbbR} $ |
| 排序不等式 | $ a_1b_1 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b’_1 + \cdots + a_nb’_n \geq a_1b_n + \cdots + a_nb_1 $ | $ a_i, b_i $ 为有序数组 |
四、小编归纳一下
掌握这四种基本不等式，不仅有助于领会数学中的核心想法，还能在实际难题中提供简洁而有力的解题思路。在进修经过中，应注重公式的推导经过和应用场景，从而提升逻辑思考与数学素养。
